2 2 3 x {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}} → x e C . ( y , → associe le nombre → y y 2 1 ‖ → À l'aide de l'opération transposée et de la multiplication des matrices, on obtient l'égalité : Si la base H Produit vectoriel On rappelle que (norme du vecteur ) désigne la longueur du segment […] A {\displaystyle \left({\vec {b_{1}}},{\vec {b_{2}}},{\vec {b_{3}}}\right)} ∧ x 1 B → = 3   Quotient euclidien x Bouquet . La somme des deux surfaces est bien égale à la surface du rectangle coloré (rouge et rose) qui est le produit scalaire de → et → → . 1 u Dans un espace vectoriel, les scalaires sont les coefficients par lesquels on a le droit de multiplier les vecteurs. → {\displaystyle {\overrightarrow {OB}}} L'usage des flèches pour désigner des vecteurs ainsi que des lettres grecques pour désigner des nombres permet d'éviter l'ambigüité. . Notons (φ1, φ2, φ3) et (ψ1, ψ2, ψ3) les coordonnées des vecteurs × {\displaystyle {\vec {y}}} Pour cela, pour tous vecteurs u ( , )x y et v ( , )x y de 2, on pose . , Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales. ( x O 3 Joint, Fonctionnelles 3 Homomorphisme ¯ ¯ Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal à l'aire d'un carré de côté la longueur d'un de ses représentants. Le produit scalaire, en utilisant les notations du paragraphe sur le projeté, correspond à l'aire du rectangle de base AH et de hauteur AB. Pour cette raison, un espace de Hilbert est par définition complet. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d'une droite et d'un plan. → 3 → {\displaystyle \vee } Arrangement, Ensembles de parties → → En géométrie, il confère à l'espace vectoriel une structure d'espace métrique disposant de nombreuses propriétés comme la complétude. %PDF-1.4 1 {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}} , O B A ^ Somme connexe, Espaces pointés → 2 Si u et v sont deux vecteurs d'un espace vectoriel E sur le corps R des nombres réels, alors le produit scalaire de u par v est un scalaire (c'est-à-dire un élément de R), noté u ∙ v, (u|v), ⟨u|v⟩, ou ⟨u, v⟩. ⋅ Pour une raison de simplicité, d'autres notations sont utilisées. e Multiplication x Cette paternité est néanmoins remise en cause par M. J. Crowe, pour qui le travail de Clifford est une transition entre l'algèbre des quaternions décrite par Hamilton et la formalisation des espaces vectoriels. 2 {\displaystyle {\vec {x}}} 1 Rudolf Bkouche, « D'où vient le produit scalaire ? 3 Les deux vecteurs {\displaystyle {\vec {y}}} x ⋅ O § 2 Produit scalaire Liens hypertextes ... § 2.1Norme d'un vecteur, vecteur unitaire Norme d'un vecteur Nous avons étudié, en première année, que l'on peut représenter un vecteur par des flèches. b y + Le produit scalaire défini sur un espace vectoriel E est symétrique, c'est-à-dire que la proposition suivante est toujours vérifiée : Le produit scalaire dans un espace vectoriel E est compatible à droite avec l'addition. O {\displaystyle {\vec {x}}} {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}} → e avec c {\displaystyle {\vec {y}}} Puissance, Arithmétiques x Une telle application est dite bilinéaire. y Les résultats et propriétés des espaces euclidiens se traduisent souvent simplement dans cet espace. Enracinement, Variétés connexes × Lorsque ces vecteurs sont non nuls, le produit scalaire est le nombre réel → B A {\displaystyle \mathrm {Hom} } y ( Produit de convolution, Vectorielles → ) Dans cette section, on considèrera un espace traditionnel tel qu'il est défini par Euclide : un plan ou un espace formé de points dans lequel les notions de distance et d'angle sont connues. Un tel espace possède de nombreuses propriétés à la fois algébriques et géométriques. La norme euclidienne d'un vecteur représenté par un bipoint AB est la distance qui sépare A de B,. Il est possible d'éviter de faire appel à cette fonction. e {\displaystyle {\vec {e_{i}}}\cdot {\vec {e_{i}}}=1} → Composition de fonctions {\displaystyle |{\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}|=OA\times OB} e {\displaystyle {\vec {y_{1}}}={\vec {y_{2}}}={\vec {y}}} ) A → + La longueur est alors donnée par la norme, et l'angle θ entre deux vecteurs non nuls y i A {\displaystyle \smile } sont orthogonaux si l'un ou l'autre des vecteurs est nul ou si l'angle géométrique AOB est droit. En matière de produit scalaire, cela se traduit par une seule condition i ⋅ 0 Elle est égale à la racine carrée du produit scalaire du vecteur avec lui-même : Une inégalité évidente est vérifiée par le produit scalaire ainsi défini : Inégalité de Cauchy-Schwarz —  → Une application de cette nature, laissant invariant les angles, les longueurs et par voie de conséquence les surfaces est appelée isométrie. La figure de droite illustre cette propriété. B et {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}} et {\displaystyle \circ } Soit un ensemble E et une fonction f définie dans E×E. } ( x → Cup-produit y ( 1 2 Concaténation. . Avec les notations de la figure de droite, ce résultat, nommé loi des cosinus s'exprime de la manière suivante : Une démonstration se trouve dans l'article détaillé. Produit cartésien De telles définitions du produit scalaire donnent des outils intéressants pour vérifier une orthogonalité, une colinéarité ou déterminer un angle géométrique. = i e O × {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=(x_{1}{\vec {e_{1}}}+x_{2}{\vec {e_{2}}}+x_{3}{\vec {e_{3}}})\cdot (y_{1}{\vec {e_{1}}}+y_{2}{\vec {e_{2}}}+y_{3}{\vec {e_{3}}}),}. → 1 0 obj En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. + {\displaystyle {\vec {e_{2}}}} Celles-ci représentent le même vecteur si elles ont la même direction, y = ÷ x → = ∨ ( La notion de produit scalaire se généralise à un espace vectoriel complexe. Pourtant, l'expression produit scalaire apparaît pour la première fois[4] dans une publication scientifique dans un livre de William Kingdon Clifford daté de 1878. {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} ⋅ ^ 1 → ⟨ + → ‖ A A Sont également utilisables le théorème de Pythagore, la loi des cosinus et le théorème de Thalès. e Smash-produit cos d ⋅ H {\displaystyle \mathrm {Tor} } {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}} O b A → y La dernière modification de cette page a été faite le 17 juillet 2020 à 15:08. → 1 Dans tous les cas, on note ce produit scalaire : Ce résultat s'exprime en matière de produit scalaire : Loi des cosinus —  Le produit scalaire possède de multiples applications. La construction géométrique des vecteurs dans un tel espace est détaillée dans l'article « Vecteur ». O {\displaystyle {\vec {x}}} → L'égalité recherchée est bien vérifiée. ⋅ ′ ⋅ + O + e Soient O, A et B, trois points du plan, la valeur absolue du produit scalaire des deux vecteurs d'extrémités O, A et O, B, est toujours inférieure ou égale au produit des normes des deux vecteurs. ���A�n=��S�k��?�S�����:q�Vו:�)(Tp2ቇ�Ť����Cӝ!4q��@�. 3 → ( e {\displaystyle \oplus } est déterminé par l'égalité Une convention, pas toujours suivie consiste à choisir des lettres grecques pour les scalaires, permettant ainsi d'éviter des confusions. O Orthogonalité : les vecteurs x {\displaystyle ()} → O × Cette inégalité est l'objet de l'article « Inégalité de Cauchy-Schwarz », qui suppose encore une formalisation algébrique différente de celle choisie ici. {\displaystyle \mathrm {Ext} } %���� 1 , O Produit scalaire de deux vecteurs Définition Soient et deux vecteurs non nuls du plan. On a alors l'égalité : La matrice M est appelée la matrice de Gram du produit scalaire dans la base La théorie devient plus subtile et de nombreux résultats, vrais en dimension finie, prennent une autre forme. 1 B y Le produit scalaire met en évidence des applications linéaires particulières aux propriétés multiples. Elle offre un cadre géométrique qui permet de généraliser bon nombre de résultats vrais sur les nombres réels. Définition 5.1 et théorème 5.1 : endomorphisme orthogonal dans un espace vectoriel euclidien − o {\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{1}y_{1}\,{\vec {e_{1}}}\cdot {\vec {e_{1}}}+x_{2}y_{2}\,{\vec {e_{2}}}\cdot {\vec {e_{2}}}+x_{3}y_{3}\,{\vec {e_{3}}}\cdot {\vec {e_{3}}}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}){\vec {e_{1}}}\cdot {\vec {e_{2}}}+(x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}){\vec {e_{1}}}\cdot {\vec {e_{3}}}+(x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2}){\vec {e_{2}}}\cdot {\vec {e_{3}}},}. = → Dans le cas de la dimension finie quelconque, il dispose de nombreuses applications algébriques : il permet de classifier les quadriques, offre des outils pour la réduction d'endomorphismes ou encore est à la base de multiples techniques statistiques comme la méthode des moindres carrés ou l'analyse en composantes principales. {\displaystyle {\vec {e_{1}}}} ×  : est un produit scalaire hermitien à gauche (ou simplement un produit scalaire) si elle est : Remarque : la convention de linéarité à droite, semi-linéarité à gauche n'est pas universelle, certains auteurs utilisent la convention inverse. → Puissance ensembliste, Groupes B Produit d'intersection, Séquentielles → {\displaystyle \left({\vec {b_{1}}},{\vec {b_{2}}},{\vec {b_{3}}}\right)} + ∧ → → ⋅ e A ⋅ + sont orthogonaux si et seulement si × L'expression est simplifiée lorsque la base choisie est orthonormale (les vecteurs de base sont de norme égale à 1 et sont orthogonaux deux à deux). {\displaystyle {\vec {y}}+{\vec {y}}'} ⋅ B B /Length 6843 t {\displaystyle {\hat {}}} O ⊗ O 1 Borne inférieure O → → {\displaystyle {\dot {\cup }}} = Dans le cas où aucun des vecteurs n'est nul, cette définition prend la forme suivante : Ici, cos désigne la fonction mathématique cosinus et ^ A Élément important de calcul en géométrie euclidienne, le produit scalaire apparaît cependant assez tard dans l'histoire des mathématiques. → Peano le définit ensuite associé à un calcul d'aire ou de déterminant. B L'application a pour valeurs des nombres, on parle alors de forme. → Sa qualité de forme bilinéaire symétrique sera ensuite exploitée en algèbre linéaire et, de propriété, deviendra définition. ≀ qui, par les propriétés de bilinéarité et de symétrie, s'écrit : x Le produit scalaire est parfois utilisé sous cette forme pour déterminer le travail d'une force lors d'un déplacement : le travail de la force F selon le trajet u est le produit scalaire des deux vecteurs. A → 3 x Crochet de Poisson Cette valeur est nulle si et seulement si le vecteur est nul car seul le vecteur … Le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal à l'aire d'un carré de côté la longueur d'un de ses représentants. , et pour tout i différent de j, {\displaystyle (~\mid ~)} → Addition 3 ˙ ⁡ = H e Cette approche est celle de Peano. 1 avec {\displaystyle \vee } {\displaystyle \max } {\displaystyle \mathrm {mod} } ⋅ e ∣ Comme il existe deux grandes manières de définir les vecteurs, soit par une approche purement algébrique (voir l'article « Espace vectoriel »), soit par une approche géométrique à l'aide des bipoints (ou couple de points, voir « Vecteur »), il existe de même deux manières de présenter le produit scalaire : une manière algébrique (objet de l'article « Espace préhilbertien »), et une manière géométrique, à l'aide de bipoints. Torsion {\displaystyle \div } {\displaystyle \left\langle u|v\right\rangle } ¯ {\displaystyle A} A A p La définition précédente suppose connue la définition de la fonction cosinus. . et {\displaystyle \mathrm {ppcm} } ∨ * V[I�8,"�p�1I)�ߖ>z��Q�������}���i���n��}��z���ۿ���ۓKr���Ze-&����}JβK��5�F��ُ�I6K^ ���8$g�%��5�F�N��²K�߬�7B$�c�����Ur����X-,�%�]-��!9�.���F���я�²I�F� ��9�.�_��7B ��戜e����!���?$'�%�a����(��Rd����N�䰨��l���i�������!�3V�&k������L���C;/�K�5�F�&�9�.�o��!�������~�. y Cette compatibilité est une conséquence du théorème de Thalès. Le produit scalaire est aussi utilisé dans des espaces de dimension infinie, il permet alors de résoudre des équations aux dérivées partielles. B Cette propriété prend la forme suivante : Le point désigne ici à la fois la multiplication par un scalaire et le produit scalaire. Produit vectoriel généralisé, Algébriques → v {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}} → ( 2 , {\displaystyle \wedge } ) → Roberto Marcolongo et Cesare Burali-Forti le définissent seulement à l'aide du cosinus d'un angle et lui donnent le nom de produit intérieur ou produit scalaire. ., . + On en déduit la définition et la proposition suivantes : Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur un espace vectoriel sur les nombres réels. {\displaystyle {\vec {y}}} C ⋅ Angle géométrique : si sont deux vecteurs non nuls, l'angle géométrique B %PDF-1.3 %���� 0 , le rectangle rouge a pour surface le produit scalaire de 3 '3j����5N�T"P���+��5$�P�\:k&��6���߉zU2��#�@!�O ari�a`�a {\displaystyle {\overrightarrow {OB}}} ⋅ A , où θ représente une mesure de l'angle géométrique A ⋅ Le terme de produit scalaire est aussi utilisé dans ce contexte. y O Si l'un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul. + O {\displaystyle \cup } PPCM, Combinatoires stream → {\displaystyle {\widehat {AOB}}} du paragraphe précédent prennent alors la forme suivante : Les matrices X et Y représentent les deux vecteurs. et {\displaystyle {\vec {y}}} ^ g Ce produit scalaire est défini comme le nombre réel \(\vec u.\vec v=x_1x_2+y_1y_2\), et on voit que la norme d’un vecteur \(\vec u=(x,y)\), soit la distance \(\sqrt{x^2+y^2}\) entre ses deux extrémités, est la racine carrée de son produit scalaire avec lui-même, c’est-à-dire \(\sqrt{\vec u.\vec u}\). + → → dans cette nouvelle base. 1 y ∪ y Elles permettent, entre autres, de définir de nombreuses structures additionnelles, souvent elles aussi euclidiennes. L'expression par le produit scalaire de la loi des cosinus suggère une formulation du produit scalaire en matière d'aire. 2 × A O Crochet de Lie ) x Dans le reste de l'article, la longueur du bipoint (O, A) est notée OA ou parfois |OA|, c'est donc un nombre réel positif. On dit qu'une application . Différence symétrique, Ordre total , Produit libre × ∧ → ⋅ . Lors de la multiplication d'un vecteur par un scalaire , la norme du vecteur résultant sera égale à la norme du vecteur de départ multipliée par k k en valeur absolue. × ⟩ B x → vérifie la propriété suivante : On dit alors que l'application produit scalaire est linéaire à droite, elle est de même linéaire à gauche. → {\displaystyle [,]} O 2 Le théorème de la médiane est un cas particulier. qui au vecteur ) → {\displaystyle \mathrm {pgcd} } B y Le rectangle violet possède une hauteur égale à celle du triangle vert, et sa base est égale à OD. On sait aussi calculer le cosinus de tout angle géométrique. En effet, la translation laisse invariante la surface. A → Minimum {\displaystyle \{,\}} {\displaystyle {\vec {x}}} {\displaystyle \cdot } {\displaystyle \ast } A ] est choisie quelconque, l'expression du produit scalaire est plus complexe. {\displaystyle {\vec {e_{i}}}\cdot {\vec {e_{j}}}=0} y 1 e A + O 2 /Filter /FlateDecode Chacun des deux rectangles hachurés en vert a pour surface le produit scalaire de Un espace euclidien est un espace vectoriel sur ℝ, de dimension finie et muni d'un produit scalaire. {\displaystyle {\vec {e_{3}}}} → y Colinéarité : les vecteurs , {\displaystyle \cos({\widehat {AOB}})={\dfrac {{\overrightarrow {OA}}\cdot {\overrightarrow {OB}}}{OA\times OB}}} et La symétrie est une propriété qui s'applique aux fonctions de deux variables prises dans un même ensemble. Division = y Dans la seconde illustration, ce travail est égal à –AB × AH. Aperçu des applications du produit scalaire, Généralisation aux espaces vectoriels complexes, L'objectif de cet article est de suivre cette démarche, pour une présentation plus technique, voir «, forme bilinéaire, symétrique et définie positive, Valeur propre, vecteur propre et espace propre, Algorithme de multiplication de matrices enchaînées, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Produit_scalaire&oldid=173010538, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, linéaire relativement au second argument (le premier étant fixé), semi-linéaire relativement au premier argument (le second étant fixé). Il est naturel de se poser la question réciproque : est-il possible de définir une géométrie à l'aide d'un espace vectoriel et d'un produit scalaire ? Produit scalaire, norme et distance. {\displaystyle {\widehat {AOB}}} y {\displaystyle \ast } → y → {\displaystyle {\vec {x}}} Ces propriétés sont utiles, à la fois pour établir une expression analytique utile à la résolution de nombreux problèmes et pour établir une nouvelle formulation à la fois plus générale et plus opérationnelle. T Soit A, B et C, trois points distincts, la trigonométrie du triangle rectangle permet de calculer le produit scalaire grâce à une projection orthogonale. {\displaystyle \times } θ Borne supérieure, Ensembles À deux vecteurs, elle associe un scalaire, c'est-à-dire un nombre tel que ceux qui définissent cet espace vectoriel — réel pour un espace vectoriel réel. v Il devient ainsi possible d'appliquer des résultats de l'analyse réelle à la géométrie différentielle. # E e {\displaystyle \min } b ( 2 ( .

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